2026-06-13

PowerPointで利用できなかったLaTeXコマンド

\begin{array}{cc}...\end{array}
  -> \begin{?matrix}...\end{?matrix} ?="", "p"arentheses, "b"racket, ...
     位置揃えの [l] は使えないようだ 
\big, \bigg -> \left\{...\right.は使える
\bm, \boldsymbol -> \mathbit
\overrightarrow -> \vec で大きい矢印が出る

利用できなかったコマンドについては、PowerPointの数式を用いて作成して「数式からLaTeX」コマンドで戻して調べた

2024-12-03

Pythonでモジュール名、関数名を変数化する

例1

import openpyxl
wb = openpyxl.Workbook()
wb.save('boook.xlsx')

を書き換える

import importlib
x = 'openpyxl'
y = 'Workbook'
z = getattr( importlib.import_module( x ) , y )
wb = z()
wb.save('boook.xlsx')

例2

import openpyxl
print( openpyxl.utils.column_index_from_string('AA') )

を書き換える

import importlib
a = 'openpyxl'
b = importlib.import_module( a )
c = 'utils'
d = getattr( b , c )
e = 'column_index_from_string'
f = getattr( d , e )
print( f('AA') )

2024-09-02

Pythonでdictをソースコードとして使えるように出力する関数

関数定義

  def srcWrite(Q,n,d,width=30):
    with open(f'src_{n}_.py','w',encoding='utf-8') as f :
      print(f'# -*- coding: utf-8 -*-',file=f)
      print(f'# {Q}',file=f)
      print(f'{n} = \\',file=f)
      pprint.pprint(d,sort_dicts=False,width=width,stream=f)

関数呼び出し

Q=[コメント]
n='[dict名(識別子)]'
srcWrite(Q, n, eval(f'{n}'))

2024-07-28

sin(x)/xの証明にx<tan(x)はいらない(高校ではなく大学教養程度なら)

授業のための覚書

高校レベルだと公式： $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ の証明は不等式 $\sin x < x < \tan x$ を出発点にしている。

ここで右側, $x < \tan x$ は、「面積」で評価すると円の面積の評価に $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ を使っているので循環論証となり、「弧長」で評価すると曲線の長さのRiemann積分を基礎とした不等式評価になるので、いずれも高校数学の範囲を超えてしまう。

どうせ超えるのなら、円周の長さをRiemann積分 *1で評価する方が早い。円周の長さが $2\pi R$ であることは、 $\pi$ の定義より所与とする。

以下 $N=3\times2^k$ where $k=1,2,3,...$ とする。まず半径 $R$ の円に内接する正 $N$ 角形の周長 $\displaystyle l_N := 2 N R \sin\frac{\pi}{N}$ は $N$ の単調増加列である。（ $\displaystyle \because 2NR\sin\frac{\pi}{N}$ $\displaystyle = 4NR\sin\frac{\pi}{2N}\cos\frac{\pi}{2N}$ $\displaystyle < 4NR\sin\frac{\pi}{2N}.$ ）2点を結ぶ最短距離は線分だから、円周より内接正 $N$ 角形の周長が短い： $l_N < 2 \pi R$ .だから単調収束定理*2より $\displaystyle \lim_{N\to\infty}l_N$ は収束する。有界単調性だけでは極限が $2 \pi R$ とはまだ言えない。

内接する正 $N$ 角形は領域 $\displaystyle T:=\left\{r: r \in \left[R\cos\frac{\pi}{N}, R\right] \right\}$ にいる*3。 $N\to\infty$ で領域 $T$ が半径 $R$ の円に収束するので、周長の極限値は $\displaystyle \lim_{N\to\infty} 2 N R \sin\frac{\pi}{N}$ $\displaystyle = 2 \pi R \lim_{N\to\infty}\cos\frac{\pi}{N}$ $\displaystyle = 2 \pi R.$ 後半部分だけでは「極限値があるとすれば $2\pi R$ が唯一の候補」までしか言えない。

以上より $\displaystyle \lim_{N\to\infty} 2 N R \sin\frac{\pi}{N} = 2 \pi R$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{ \sin x }{ x } = 1$ where $\displaystyle x= \frac{\pi}{N}.$

*1:弧長 - Wikipedia

*2:単調収束定理 - Wikipedia

*3:ここで $\displaystyle R\cos\frac{\pi}{N}$ を正 $N$ 角形のapothem(辺心距離)というApothem - Wikipedia；「辺心距離」という語はWolfram Alphaでも使える：辺心距離が4の九角形の直径 - Wolfram|Alpha；この注は2025.7.7追記

2024-07-16

lim(x→0) sin(x)/x=1の証明のつもりで始めた円の面積の公式の証明

証明の動機：小学校の算数での円の面積の説明「丸いピザを切って並べ替える操作を、長方形になるまで細かく切り続ける」のを数学的に論証しないのがキモチワルイから。

まず、、、
（直感的には）半径 $r$ の扇形の面積は半径 $r$ の2乗と中心角 $\theta$ に比例するので： $S = C r^2 \theta$ .
（円の面積の公式 $S = \pi r^2$ は使えない）
（直感的には）半径 $r$ の円とその円に内接、外接する正N角形の面積の大小関係より
$\displaystyle 2N \times \left( \frac12 r \times r \sin\frac{\pi}{N} \right) < 2N \times \left( C r^2 \frac{\pi}{N} \right) < 2N \times \left( \frac12 r \times r \tan\frac{\pi}{N} \right)$
$\displaystyle \Longrightarrow N \sin\frac{\pi}{N} < 2 C \pi < N \tan\frac{\pi}{N}$
ここで $N \sin\frac{\pi}{N}$ は上に有界な単調増加列なので単調収束定理*1より収束する： $\displaystyle \lim_{N\to\infty} N \sin\frac{\pi}{N} = \alpha$
一方で $\displaystyle N \tan\frac{\pi}{N}$ は下に有界な単調減少列なので収束する： $\displaystyle \lim_{N\to\infty} N \tan\frac{\pi}{N} = \frac{ \displaystyle \lim_{N\to\infty} N \sin\frac{\pi}{N} }{ \displaystyle \lim_{N\to\infty} \cos\frac{\pi}{N}} = \frac\alpha1 = \alpha$
よって不等式よりはさみうちの原理から： $\alpha = 2C \pi$

一方で、、、
半径 $r$ の円に内接する正N角形の周長は： $\displaystyle l_{N} = 2N \times r \sin\frac{\pi}{N}$
これは $N \to \infty$ で収束して： $\displaystyle \lim_{N\to\infty} l_N = 4 C \pi r$
一方、半径 $r$ の円に外接する正N角形の周長は： $\displaystyle L_{N} = 2N \times r \tan\frac{\pi}{N}$
これも $N \to \infty$ で収束して： $\displaystyle \lim_{N\to\infty} L_N = 4 C \pi r$
直感的には]これらは円の周長] $2 \pi r$ （円周率 $\pi$ の定義）に収束しているはずなので： $C = 1/2$

よって、、、
円の面積は $\displaystyle S = \lim_{N\to\infty} 2N \times \left( C r^2 \frac{\pi}{N} \right) = \pi r^2$
それから $\displaystyle \lim_{N\to\infty} \frac{N}{\pi} \sin\frac{\pi}{N} = 1$ （点列収束だけど $\displaystyle \lim_{x\to0+0} \frac{ \sin x}{x} = 1$ ）
ついでに $\displaystyle \pi < N \tan\frac{\pi}{N}$ より、円周より外接する正N角形の周長が長い。（円周より内接する正N角形の周長が短いのは直感的に]「2点の最短距離は2点を結ぶ線分」であることより明らかであったが、外接多角形はそうではなかった。参照↓）

蛇足、、、
長さにこだわった $\theta < \tan\theta$ の論証の $|PQ| < |RT|$ の部分が $|PQ| < \overset{\large\frown}{PQ} < |RT|$ でないところが、曲線の長さとその外の線分の比較ができていないので、とてもキモチワルイ↓

出典：J. Stewart, "Calculus" 8-th Ed., (2016), Appendix F, p. A43

*1:単調収束定理 - Wikipedia

2024-02-19

Google Colab で file の代わりに Jupyter notebook のファイル名を知る方法

from requests import get
from socket import gethostname, gethostbyname
ip = gethostbyname(gethostname()) # 172.28.0.12 (2024.2.19現在)
filename = get(f"http://{ip}:9000/api/sessions").json()[0]["name"]
print(ip,filename)

stackoverflow.com

2023-11-18

組立除法でcos, sinの3倍角,4倍角,5倍角の公式を求める

授業のための覚書*1。積和の公式*2と、3項間漸化式を組立除法*3で解けることを組み合わせることでn倍角の公式を組立除法で求めることができる：

$\begin{array}{r|llll} 次数n & 3 & 2 & 1 \\ & 1 & 0 & 0 \\\hline 2C & & 2C & \\ -1 & & & -1 \\\hline & 1 \ ||& 2C & -1 \end{array}$
$\therefore \cos3x = (2\cos x)(2\cos^2x-1) - \cos x \\ \hspace{3em} = 4\cos^3x - 3\cos x$
$\therefore \sin3x = (2\cos x)(2\cos x\sin x) - \sin x$

$\begin{array}{r|llll} 次数 n & 4 & 3 & 2 & 1 \\ & 1 & 0 & 0 & 0\\\hline 2C & & 2C & 4C^2 \\ -1 & & & -1 & -2C \\\hline & 1 & 2C \ ||& 4C^2-1 & - 2C \end{array}$
$\therefore \cos4x = (4\cos^2x - 1)(2\cos^2x -1) - 2\cos x\cos x$
$\therefore \sin4x = (4\cos^2x - 1)(2\cos x\sin x) - 2\cos x\sin x$

$\begin{array}{r|llll} 次数 n & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline 2 C & & 2 C & 4 C^2 & 8 C^3 - 2 C \\ -1 & & & -1 & -2 C & -4 C^2 + 1 \\\hline & 1 & 2C & 4C^2-1 \ ||& 8C^3 - 4C & -4 C^2 + 1 \end{array}$
$\therefore \cos5x = (8\cos^3x - 4\cos x)(2\cos^2x-1)+( - 4\cos^2x + 1)\cos x$
$\therefore \sin5x = (8\cos^3x - 4\cos x)(2\cos x\sin x) + (- 4\cos^2x + 1)\sin x$