あらきけいすけのメモ帳

あらきけいすけの雑記帳２

組立除法でcos, sinの3倍角,4倍角,5倍角の公式を求める

授業のための覚書*1。積和の公式*2と、3項間漸化式を組立除法*3で解けることを組み合わせることでn倍角の公式を組立除法で求めることができる：

\begin{array}{r|llll} 次数n & 3 & 2 & 1 \\ & 1 & 0 & 0 \\\hline 2C & & 2C & \\ -1 & & & -1 \\\hline & 1 \ ||& 2C & -1 \end{array}
\therefore \cos3x = (2\cos x)(2\cos^2x-1) - \cos x \\ \hspace{3em} = 4\cos^3x - 3\cos x
\therefore \sin3x = (2\cos x)(2\cos x\sin x) - \sin x

\begin{array}{r|llll} 次数 n & 4 & 3 & 2 & 1 \\ & 1 & 0 & 0 & 0\\\hline 2C & & 2C & 4C^2 \\ -1 & & & -1 & -2C \\\hline & 1 & 2C \ ||& 4C^2-1 & - 2C \end{array}
\therefore \cos4x = (4\cos^2x - 1)(2\cos^2x -1) - 2\cos x\cos x
\therefore \sin4x = (4\cos^2x - 1)(2\cos x\sin x) - 2\cos x\sin x

\begin{array}{r|llll} 次数 n & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline 2 C & & 2 C & 4 C^2 & 8 C^3 - 2 C \\ -1 & & & -1 & -2 C & -4 C^2 + 1 \\\hline & 1 & 2C & 4C^2-1 \ ||& 8C^3 - 4C & -4 C^2 + 1 \end{array}
\therefore \cos5x = (8\cos^3x - 4\cos x)(2\cos^2x-1)+( - 4\cos^2x + 1)\cos x
\therefore \sin5x = (8\cos^3x - 4\cos x)(2\cos x\sin x) + (- 4\cos^2x + 1)\sin x

*1:チェビシェフの多項式の次数の低いものを筆算する方法：チェビシェフ多項式 - Wikipedia

*2:三角関数の公式の一覧 - Wikipedia

*3:英語では synthetic division という：Synthetic division - Wikipedia（日本語エントリはない：ホーナー法 - Wikipedia）