sin(x)/xの証明にx<tan(x)はいらない(高校ではなく大学教養程度なら)

授業のための覚書

高校レベルだと公式： $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ の証明は不等式 $\sin x < x < \tan x$ を出発点にしている。

ここで右側, $x < \tan x$ は、「面積」で評価すると円の面積の評価に $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ を使っているので循環論証となり、「弧長」で評価すると曲線の長さのRiemann積分を基礎とした不等式評価になるので、いずれも高校数学の範囲を超えてしまう。

どうせ超えるのなら、円周の長さをRiemann積分 *1で評価する方が早い。円周の長さが $2\pi R$ であることは、 $\pi$ の定義より所与とする。

以下 $N=3\times2^k$ where $k=1,2,3,...$ とする。まず半径 $R$ の円に内接する正 $N$ 角形の周長 $\displaystyle l_N := 2 N R \sin\frac{\pi}{N}$ は $N$ の単調増加列である。（ $\displaystyle \because 2NR\sin\frac{\pi}{N}$ $\displaystyle = 4NR\sin\frac{\pi}{2N}\cos\frac{\pi}{2N}$ $\displaystyle < 4NR\sin\frac{\pi}{2N}.$ ）2点を結ぶ最短距離は線分だから、円周より内接正 $N$ 角形の周長が短い： $l_N < 2 \pi R$ .だから単調収束定理*2より $\displaystyle \lim_{N\to\infty}l_N$ は収束する。有界単調性だけでは極限が $2 \pi R$ とはまだ言えない。

内接する正 $N$ 角形は領域 $\displaystyle T:=\left\{r: r \in \left[R\cos\frac{\pi}{N}, R\right] \right\}$ にいる。 $N\to\infty$ で領域 $T$ が半径 $R$ の円に収束するので、周長の極限値は $\displaystyle \lim_{N\to\infty} 2 N R \sin\frac{\pi}{N}$ $\displaystyle = 2 \pi R \lim_{N\to\infty}\cos\frac{\pi}{N}$ $\displaystyle = 2 \pi R.$ 後半部分だけでは「極限値があるとすれば $2\pi R$ が唯一の候補」までしか言えない。

以上より $\displaystyle \lim_{N\to\infty} 2 N R \sin\frac{\pi}{N} = 2 \pi R$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{ \sin x }{ x } = 1$ where $\displaystyle x= \frac{\pi}{N}.$