Dirichlet 積分 ∫_0^∞ sin(x)/x dx = π/2 が条件収束であることについて

$\small\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac\pi2$ が条件収束だ*1ということを示すことにちょっとてこずったのでラフなメモを残す。細かいところでミスがあるかもしれない。
方針： $\small\displaystyle I_n:=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}dx$ を評価する。
まず $\small\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}dx=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{t+n\pi}dt$ である。ここで $\small\displaystyle\frac{\sin t}{(n+1)\pi}\lt\frac{\sin t}{t+n\pi}\lt\frac{\sin t}{n\pi}$ より $\small\displaystyle\frac{2}{(n+1)\pi}\lt I_n\lt\frac{2}{n\pi}$ （ $\small n=0$ のときは上限は $\small\displaystyle0<\frac{\sin x}{x}<1$ より $\small1\times\pi=\pi$ ）である。
ここで $\small\displaystyle\int_0^\infty\frac{\left|\sin x\right|}{x}dx=\sum_{n=0}^\infty I_n$ を下から評価すると、 $\small\displaystyle\sum_{n=0}^\infty I_n$ $\gt$ $\small\displaystyle\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}$ $\gt$ $\small\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_1^\infty\frac{dt}{t}$ なので、発散すること、すなわち絶対収束しないことが分かる。
次に隣接する部分の和： $\small\displaystyle\int_{2m\pi}^{2(m+1)\pi}\frac{\sin x}{x}dx=I_{2m}-I_{2m+1}$ を評価すると $\small\displaystyle \frac{2}{(2m+1)\pi} \lt I_{2m}\lt\frac{2}{2m\pi}$ , $\small\displaystyle-\frac{2}{(2m+1)\pi}\lt -I_{2m+1}\lt-\frac{2}{(2m+2)\pi}$ であるから、 $\small\displaystyle0\lt I_{2m}-I_{2m+1}\lt\underbrace{\frac{2}{2m\pi}-\frac{2}{(2m+2)\pi}}_{\frac{4}{2m(2m+2)\pi}=\frac{1}{m(m+1)\pi}}$ となって、両サイドを $m$ の－2次で抑えられるので、「 $\small\displaystyle0\lt I_{2m}-I_{2m+1}$ より $\small\displaystyle\sum(I_{2m}-I_{2m+1})$ は単調増加列である」「 $\small\displaystyle\sum_{m=1}^\infty(I_{2m}-I_{2m+1})$ $\lt$ $\small\displaystyle\frac{1}{\pi}\sum\frac{1}{m^2}$ $\lt$ $\small\displaystyle\frac{1}{\pi}\left(1+\int_1^\infty\frac{dt}{t^2}\right)=\frac2\pi$ より、上に有界である」という条件を満たすので、収束する*2。