極限を用いた自然対数の定義 - あらきけいすけのメモ帳

$\newcommand{\SD}{\small\displaystyle}$ 授業のための覚書：自然対数の定義を指数関数の導関数の定義から誘導する - あらきけいすけのメモ帳がベルヌーイのeの定義 $\SD\lim_{N\to\infty}\left(1+\frac1N\right)^N=e$ から導けたのでメモ。途中計算の対数の底は任意。最終的に底の変換公式で自然対数になる。
$\SD\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$ において
( $a>1$ ならば)右極限： $\SD a^h-1=\frac1N$ と置くと
$\SD a^h=1+\frac1N$ $\Longrightarrow$ $\SD h=\frac{\log\left(1+\frac1N\right)}{\log a}$
$\therefore$ $\SD\frac{a^h-1}{h}=\frac1N\frac{\log a}{\log\left(1+\frac1N\right)}$ $\SD=\frac{\log a}{\log\left(1+\frac1N\right)^N}$ $\SD\mathop{\longrightarrow}^{N\to\infty}$ $\SD\frac{\log a}{\log e}=\log_e a$
( $a>1$ ならば)左極限： $\SD a^h-1=-\frac1N$ と置くと
$\SD a^h=1-\frac1N$ $\Longrightarrow$ $\SD h=\frac{\log\left(1-\frac1N\right)}{\log a}$
$\therefore$ $\SD\frac{a^h-1}{h}=-\frac1N\frac{\log a}{\log\left(1-\frac1N\right)}$ $\SD=\frac{\log a}{\log\left(1-\frac1N\right)^{-N}}$ $\SD\mathop{=}^{M=N-1}$ $\SD\frac{\log a}{\log\left[\left(1+\frac1M\right)^{M}\left(1+\frac1M\right)\right]}$ $\SD\mathop{\longrightarrow}^{M\to\infty}$ $\SD\frac{\log a}{\log( e\cdot1)}=\log_e a$