e関連の極限の式を避けて対数関数と指数関数を微分する

　授業のための覚書。高校の数学IIIの合成関数の微分の知識を用いる。数学IIIの知識が一通りあれば、論理で押し切れそう。

　対数関数は対数法則 $f(xy)=f(x)+f(y)$ を満たす可微分な関数なので、合成関数の導関数の公式を使い、この両辺を $y$ で微分して $xf'(xy)=f'(y)$ となる。これに $y=1$ を代入して $xf'(x)=f'(1)$ となる。ゆえに $\displaystyle f'(x)=\frac{f'(1)}{x}$ である。ここで $f'(1)=1$ となる特別な対数関数を「自然対数」と呼び、 $\ln x$ と表記することにすると、自然対数の導関数は $\displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x}$ となる（ところで対数の底の値は？）。

　自然対数の逆関数となる指数関数*1（ $y=f^{-1}(x)$ ）の導関数は $\ln y=x$ の両辺を $x$ について微分することで $y'=y$ と分かる。この指数関数を便宜的に $f^{-1}(x)=e^x$ と表記することにすると、 $(e^x)'=e^x$ となる。

　対数法則に $x=y=1$ を代入して $f(1)=0$ となること、 $x\gt0$ のとき $x^{-1}\gt0$ を使って、対数関数の $x$ での値は定積分 $\displaystyle \ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}$ で定義される数である。この定義が破綻しないためには $\ln x$ の定義域を $x\gt0$ にしないといけない。

　対数の底の具体的な値は $\displaystyle\int_1^e\frac{dx}{x}=1$ を満たす1より大きい数 $e$ を数値計算で求めればよい（よい精度で求められるアルゴリズムがあればよいのだが、ボクは知らない）。

　自然対数以外の底の対数関数は $\displaystyle f(x)=f'(1)\int_1^x\frac{dt}{t}=f'(1)\ln x$ で与えらえる。ここでこの対数関数の底を $a$ とすると $f(a)=f'(1)\ln a=1$ となるので、 $\displaystyle f'(1)=\frac{1}{\ln a}$ となる。これよりこの対数関数を $\log_a$ と書くと、 $\displaystyle\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}$ となる。これは底の変換の式になっている。これより $\displaystyle(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}$ となる。