グラフの凹凸と関数の2階微分と平均値の定理

授業のための覚書。数学IIIの高校教科書、学習参考書では、y=f(x)のグラフが「上に凸」「下に凸」であることと2回微分した関数 f''(x) の正負の関係の説明が直感的なものばかりで、高校の範囲内で説明可能なのに「平均値の定理」と結び付けたものが少ないように思われる。

「傾き ${\rm PQ}$ ＜傾き ${\rm QR}$ 」と「 $f$ がなめらか」 $\Longrightarrow f''>0$

下に凸の関数の上では線分は右に行くほど傾きが大きくなる — 下に凸の関数と異なる3点を結ぶ線分の関係

$\newcommand{\ss}{\small}\newcommand{\ds}{\displaystyle}$ 関数のグラフ $y=f(x)$ が「区間 $[a,\,b$ ]で下に凸」とは、 $a < p < q < r < b$ を満たす任意の $\ss{\rm P}(p,\,f(p))$ , $\ss{\rm Q}(q,\,f(q))$ , $\ss{\rm R}(r,\,f(r))$ で「線分 $\ss{\rm PQ}$ の傾きより線分 $\ss{\rm QR}$ の傾きが必ず大きい」こと、すなわち $\ss\ds\frac{f(q)-f(p)}{q-p} < \frac{f(r)-f(q)}{r-q}$ である。*1
ここで $\ss f(x)$ が微分可能ならば、平均値の定理より $\ss f'(c_{\rm PQ}) < f'(c_{\rm QR})$ , $a < p < c_{\rm PQ} < q < c_{\rm QR} < r < b$ となる $c_{\rm PQ}$ , $c_{\rm QR}$ が存在する。ここでさらに $\ss f'(x)$ が微分可能ならば、平均値の定理より $\ss f'(c_{\rm QR}) - f'(c_{\rm PQ}) = f''(c_{\rm PR})(c_{\rm QR} - c_{\rm PQ}) > 0$ , $a < p < c_{\rm PQ} < c_{\rm PR} < c_{\rm QR} < r < b$ となる $c_{\rm PR}$ が存在する。ここで $c_{\rm QR} - c_{\rm PQ} > 0$ なので $\ss f''(C_{\rm PR}) > 0$ となる。これが任意の $a < p < q < r < b$ で成り立つので「区間 $\ss[a,\,b$ ]上でなめらかな関数 $\ss f(x)$ が下に凸になる十分条件は $\ss f''(x) > 0$ 」である。

$f''>0 \Longrightarrow$ 傾き ${\rm PQ}$ ＜傾き ${\rm QR}$

$\ss f''(x) > 0$ のときに $\ss\ds\frac{f(r)-f(q)}{r-q} - \frac{f(q)-f(p)}{q-p} > 0$ を証明する。証明の方針は $\ss q = t r + (1-t) p$ ( $\ss 0 < t < 1$ )と置いて、 $\ss\rm Q$ が区間 $\ss(p,\,r)$ のどこにあっても不等式がなりたつことをグラフを考察して示す。
$q$ をこのようにおくとき $\ss\ds\frac{f(r)-f(q)}{r-q} - \frac{f(q)-f(p)}{q-p}$ $\ss\ds=\frac{f(r)-f(tr+(1-t)p)}{r-tr+(1-t)p} - \frac{f(tr+(1-t)p)-f(p)}{tr+(1-t)p-p}$ $\ss\ds=\frac{f(r)-f(tr+(1-t)p)}{(1-t)(r-p)} - \frac{f(tr+(1-t)p)-f(p)}{t(r-p)}$ $\ss\ds=\frac{tf(r)+(1-t)f(p)-f(tr+(1-t)p)}{t(1-t)(r-p)}$
この式の分母は正の数なので、分子を $\ss F(t):=tf(r)+(1-t)f(p)-f(tr+(1-t)p)$ と置く。この関数が $\ss f''>0$ のときに $\ss F>0$ となることを示す。
まず $\ss F'(t)=f(r)-f(p)-(r-p)f'(tr+(1-t)p)$ , $\ss F''(t)=-(r-p)^2f''(tr+(1-t)p)$ である。
ここで $\ss f'(x)$ は単調増加なので $\ss f'(p) < f'(x) < f'(r)$ である。これらを区間 $\ss [p ,\, r]$ で積分すると $\ss f'(p)(r-p) < f(r)-f(p) < f'(r)(r-p)$
これより $\ss F'(0)=f(r)-f(p)-(r-p)f'(p) > 0$ , $\ss F'(1)=f(r)-f(p)-(r-p)f'(r) < 0$ となる。
$\ss f''>0$ なので、 $\ss F''<0$ すなわちは $\ss F'$ は単調減少。
$\ss F'(0) > 0$ , $\ss F'(1) < 0$ より $\ss F(t)$ の増減は $\ss F(0) \nearrow\searrow F(1)$ となる。
ここで $\ss F(0) = F(1) = 0$ なので、 $F(t)>0$ である。